【題目】已知函數
的最大值為
.
（1）若關于
的方程
的兩個實數根為
，求證：
；
（2）當
時，證明函數
在函數
的最小零點
處取得極小值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】分析：（1）本小問的解決方法是利用
這個條件，得到含有
的等式，對等式進行變形處理，使得等式左邊是
，右邊是分式
。則求證目標不等式等價于證等式右端的部分
，運用作差比較法構造函數
，對
運用導數進行研究，即可證明原不等式；
（3）討論函數的單調性，取絕對值得到
的分段形式，若證明
，則證明
，記
，求導分析單調性即可證得.
詳解：（1）
，由
，
得
；由
，得
；
所以，
的增區間為
，減區間為
，
所以
，
不妨設
，∴
，
∴
，
∴
，∴
，∴
，
設，則
，
所以，在
上單調遞增，
，則
，
因
，故
，所以
；
（2）由（1）可知，在區間單調遞增，又
時，
，
易知，
在
遞增，
，
∴
，且
時，
；
時，
，
當時，
，
于是時，
，
所以，若證明，則證明，
記
，
則
，
∵
，∴
，
∴
在內單調遞增，∴
，
∵
，
∴在
內單調遞增，
∴
，
于是時，
.
所以在
遞減.
當時，相應的
.
所以在
遞增.
故
是的極小值點.
開心蛙狀元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是正四面體的平面展開圖，
分別是
的中點，在這個正四面體中：①
與
平行；②
與為異面直線；③
與成60°角；④與垂直.以上四個命題中，正確命題的個數是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，海中一小島C周圍
nmile內有暗礁，貨輪由西向東航行至A處測得小島C位于北偏東75°方向上，航行8nmile后，于B處測得小島C在北偏東60°方向上.
（1）如果這艘貨輪不改變航向繼續前進，有沒有觸礁的危險？請說明理由.
（2）如果有觸礁的危險，這艘貨輪在B處改變航向為南偏東α°（α>0）方向航行，順利繞過暗礁，求a的最大值.（附：
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年央視大型文化節目《經典詠流傳》的熱播，在全民中掀起了誦讀詩詞的熱潮.某大學社團調查了該校文學院300名學生每天誦讀詩詞的時間(所有學生誦讀時間都在兩小時內)，并按時間(單位：分鐘)將學生分成六個組：
，
，
，
，
，
，經統計得到了如圖所
示的頻率分布直方圖
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中
的值，并估計該校文學院的學生每天誦讀詩詞的時間的平均數；
(Ⅱ)若兩個同學誦讀詩詞的時間
滿足
，則這兩個同學組成一個“Team”，已知從每天誦讀時間小于20分鐘和大于或等于80分鐘的所有學生中用分層抽樣的方法抽取了5人，現從這5人中隨機選取2人，求選取的兩人能組成一個“Team”的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有下列4個命題：
（1）“若
，則
互為相反數”的否命題
（2）“若
，則
”的逆否命題
（3）“若
，則
”的否命題
（4）“若
，則
有實數根”的逆命題
其中真命題的個數是（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
如圖，在四面體
中，
點
分別是棱
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：四邊形
為矩形；
（Ⅲ）是否存在點
，到四面體六條棱的中點 的距離相等？說明理由．
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