Question

【題目】證明
（1）如果a，b都是正數，且a≠b，求證： + ＞ +
（2）設x＞﹣1，m∈N* ， 用數學歸納法證明：（1+x）m≥1+mx．

Answer 1

【答案】
（1）證明：方法一：用綜合法

+ ﹣ ﹣ =

= = ＞0，

所以 + ＞ + ．

方法二：用分析法

要證 + ＞ + ，

只要證 + +2 ＞a+b+2 ，

即要證a3+b3＞a2b+ab2，

只需證（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），

即需證a2﹣ab+b2＞ab，

只需證（a﹣b）2＞0，

因為a≠b，所以（a﹣b）2＞0恒成立，

所以 + ＞ + 成立

（2）證明①當m=1時，原不等式成立；

當m=2時，左邊=1+2x+x2，右邊=1+2x，

因為x2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；

②假設當m=k（k≥1，k∈N*）時，不等式成立，

即（1+x）k≥1+kx，則當m=k+1時，

因為x＞﹣1，所以1+x＞0．

于是在不等式（1+x）k≥1+kx兩邊同時乘以1+x得

（1+x）k（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2

≥1+（k+1）x．

所以（1+x）/span>k+1≥1+（k+1）x，

即當m=k+1時，不等式也成立．

綜合①②知，對一切正整數m，不等式都成立

【解析】（1）方法一，用綜合法，即利用作差法；方法二，分析法，兩邊平方法；（2）要證明當x＞﹣1時，（1+x）m≥1+mx，我們要先證明m=1時，（1+x）m≥1+mx成立，再假設m=k時，（1+x）m≥1+mx成立，進而證明出m=k+1時，（1+x）m≥1+mx也成立，即可得到對于任意正整數m：當x＞﹣1時，（1+x）m≥1+mx．
【考點精析】掌握不等式的證明和數學歸納法的定義是解答本題的根本，需要知道不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．