Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由已知求得，再由橢圓離心率及隱含條件求得，則橢圓方程可求；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求得，再由，可得，從而求得的范圍，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，則取值范圍可求．

試題解析：（1）設(shè)焦距為，由已知， ，∴，又，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)， ，聯(lián)立得，依題意， ，化簡得，①， ， ， ，若，則，即，∴，∴，即，化簡得，②，由①②得， ，∵原點(diǎn)到直線的距離，∴，又∵，∴，∴原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是