Question

如圖所示，在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，
OP⊥底面ABC.
（1）若k=1，試求異面直線PA與BD所成角余弦值的大小；
（2）當k取何值時，二面角O—PC—B的大小為？

Answer 1

(1) 異面直線PA與BD所成角的余弦值的大小為. (2)k=時,二面角O—PC—B的大小為

 ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，

從而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，
以O為原點，建立如圖所示空間直角坐標系O—xyz.
（1）設AB=a，則PA=a，PO=a，
A（a，0，0），B（0，a，0），
C（-a，0，0），P（0，0，a），
則D（-a，0，a）.
∵=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，
∴cos〈,〉===-,
則異面直線PA與BD所成角的余弦值的大小為.
（2）設AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，
∴=(0，a，0)為平面POC的一個法向量.
不妨設平面PBC的一個法向量為n=（x，y，z），
∵A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，
∴=(-a,- a,0),="(-" a,0,-h),
由
不妨令x=1，則y=-1，z=-，
即n="(1,-1,-" ),則cos=
==2+=4h=a,
∴PA===a,
而AB=kPA,∴k=.
故當k=時,二面角O—PC—B的大小為.