Question

【題目】已知函數 .

(1)當時，證明： ；

(2)當時，函數單調遞增，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）時， 即證,只需證明,利用導數研究函數的單調性，根據單調性可得，從而可得原不等式成立；(2) 依題在上恒成立，討論三種情況：①當時， 單調遞增； ,符合題意；②當時， ,不符合題意，舍去；③當存在部分不合題意，綜合三種情況可得結果.

試題解析：證明：(1)當時，即證： ,

,令，

則,當時，有.

當時， 單調遞增；

當時，有.當時， 單調遞減， .取等號條件不致，

（此問可以參考如圖理解）. .

(2)依題在上恒成立，

令,

又令,所以當時， 在上單調遞增，

,因此,

，討論：

①當時， 單調遞增； ,符合題意

②當時， ,不符合題意，舍去.

③當.

,當時， 在時單調遞減，

當時， 在單調遞減， ，不符合題意舍去.

綜上： .