Question

已知圓(x＋4)²＋y²＝25的圓心為M₁，圓(x－4)²＋y²＝1的圓心為M₂，一動圓與這兩個圓都外切．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

⑴求動圓圓心P的軌跡方程；

⑵若過點M₂的直線與⑴中所求軌跡有兩個交點A、B，求|AM₁|·|BM₁|的取值范圍．

Answer 1

（1）軌跡方程為－＝1（x≥2）；（2）|AM₁|·|BM₁|≥100；

解析:

（1）∵|PM₁|－5＝|PM₂|－1，∴|PM₁| － |PM₂|＝4

∴動圓圓心P的軌跡是以M₁、M₂為焦點的雙曲線的右支。

c＝4，a＝2，b²＝12，

故所求軌跡方程為－＝1（x≥2）。

（2）當過M₂的直線傾斜角不等于時，設其斜率為k，

直線方程為   y＝k(x－4)

與雙曲線  3x²－y²－12＝0聯(lián)立，消去y化簡得(3－k²)x²＋8k²x－16k²－12＝0

又設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，x₁>0，x₂>0

由解得  k²>3。

由雙曲線左準線方程  x＝－1且e＝2，有|AM₁|·|BM₁|＝e|x₁＋1|·e|x₂＋1|＝4[x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1]

＝4(＋＋1)＝100＋ 

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

∵k²－3>0，∴|AM₁|×|BM₁|>100

又當直線傾斜角等于時，A(4，y₁)，B(4，y₂)，

|AM₁|＝|BM₁|＝e(4＋1)＝10

∴|AM₁|·|BM₁|＝100  故  |AM₁|·|BM₁|≥100。