Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中， 分別為橢圓： 的左、右焦點(diǎn), 為短軸的一個(gè)端點(diǎn)， 是橢圓上的一點(diǎn)，滿足，且的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，求點(diǎn)到直線距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由已知，設(shè)，則， ， ，由此能求出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，（ ），直線的方程為，k≠0，由，得： ，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)到直線距離的取值范圍.

試題解析：（1）由已知，設(shè)，即

∴即 ∴ 得： ①

又的周長(zhǎng)為∴ ②

又①②得： ∴ ∴所求橢圓的方程為：

（2）設(shè)點(diǎn),直線的方程為

由 消去，得：

設(shè)， 中點(diǎn)為

則 ∴

∴ 即

∵是以為頂點(diǎn)的等腰三角形 ∴ 即

∴

設(shè)點(diǎn)到直線距離為，

則 ∴

即點(diǎn)到直線距離的取值范圍是。