Question

如圖，過拋物線x²=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。

（1）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ，證明：；
（2）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程。

Answer 1

解：（1）依題意，可設(shè)直線AB的方程為
代入拋物線方程得
①
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，則x₁，x₂是方程①的兩根
所以
由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為，得
即
又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，-m），從而




所以。
（2）由得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（-4，4）
由得
所以拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為
設(shè)圓C的方程是
則
解之得
所以圓C的方程是
即。