Question

如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)．
（I）設(shè)點(diǎn)P分有向線段

AB

所成的比為λ，證明：

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），x₁x₂=-4m．由點(diǎn)P（0，m）分有向線段

AB

所成的比為λ，得

x1+λx2

1+λ

=0，即λ=-

x1

x2

．由此可以推出

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)．
（Ⅱ）由

x-2y+12=0 x2=4y

得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（-4，4）．設(shè)圓C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，則

b-9 a-b =- 1 3 (a-6)2+(b-9)2=(a+4)2+(b-4)2.

解得a=-

3

2

，b=

23

2

，r2=(a+4)2+(b-4)2=

125

2

．所以圓C的方程是x²+y²+3x-23y+72=0．

解答：解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．①
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程①的兩根．
所以x₁x₂=-4m．
由點(diǎn)P（0，m）分有向線段

AB

所成的比為λ，
得

x1+λx2

1+λ

=0，即λ=-

x1

x2

．
又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，-m），從而

QP

=(0，2m).

QA

-λ

QB

=(x1，y1+m)-λ(x2，y2+m)=(x1-λx2，y1-λy2+(1-λ)m)．

QP

•(

QA

-λ

QB

)=2m[y1-λy2+(1-λ)m]=2m[

x 2 1

4

+

x1

x2

•

x 2 2

4

+(1+

x1

x2

)m]=2m(x1+x2)•

x1x2+4m

4x2

=2m(x1+x2)•

-4m+4m

4x2

=0．
所以

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)．
（Ⅱ）由

x-2y+12=0 x2=4y

得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（-4，4）．
由x²=y得y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，
所以拋物線x²=4y在點(diǎn)A處切線的斜率為y'|_x=6=3
設(shè)圓C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
則

b-9 a-b =- 1 3 (a-6)2+(b-9)2=(a+4)2+(b-4)2.

解之得a=-

3

2

，b=

23

2

，r2=(a+4)2+(b-4)2=

125

2

．
所以圓C的方程是(x+

3

2

)2+(y-

23

2

) 2=

125

2

，
即x²+y²+3x-23y+72=0．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．