Question

【題目】已知命題p：x∈R，x2+2x﹣m=0；命題q：x∈R，mx2+mx+1＞0．
（1）若命題p為真命題，求實數m的取值范圍；
（2）若命題q為假命題，求實數m的取值范圍；
（3）若命題p∨q為真命題，且p∧q為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若命題p為真命題，則x2+2x﹣m=0有實數根，

∴△=4+4m≥0，解得：m≥﹣1，

即m的取值范圍為[﹣1，+∞）；

（2）解：若命題q為假命題，則

①m=0時，不合題意；

②m＞0時，△=m2﹣4m≥0，解得：m≥4；

③m＜0時，符合題意．

綜上：實數m的取值范圍為（﹣∞，0）∪[4，+∞）．

（3）解：由（1）得p為真命題時，m≥﹣1；p為假命題時，m＜﹣1，

由（2）得q為真命題時，0≤m＜4；q為假命題時，m＜0或m≥4，

∵p∨q為真命題，且p∧q為假命題，∴“p真，q假”或“p假，q真”

∴ 或 ，

解得實數m的取值范圍為[﹣1，0）∪[4，+∞）．

【解析】（1）若命題p為真命題，則x2+2x﹣m=0有實數根，根據△≥0，解出即可；（2）若命題q為假命題，通過討論（1）m=0時，（2）m＞0時，（3）m＜0時的情況，從而得到答案．（3）通過討論“p真，q假”或“p假，q真”的情況，得到不等式組，解出即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解復合命題的真假(“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真)，還要掌握全稱命題(全稱命題：，，它的否定：，;全稱命題的否定是特稱命題)的相關知識才是答題的關鍵．