Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*），數列{bn}滿足bn=（2n﹣1）an，數列{bn}的前n項和Tn（n∈N*），

（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；

（2）求數列{bn}的前n項和Tn；

（3）求 的最小值以及取得最小值時n的值．

Answer 1

【答案】（1）an=（2n﹣1）2n （2）Tn=（2n﹣3）2n+1+6 （3）n=3時，最小值為16

【解析】

（1）當時，，相減可得，利用等比數列的定義與通項公式，即可得出數列的通項公式，進而可得的通項公式；（2）利用錯位相減法，結合等比數列的求和公式，即可得出數列的前項和；（3）利用（2）可得 ，根據基本不等式的性質即可得結果．

（1）當n=1時，S1=2a1﹣2，所以a1=2．

當n≥2時，Sn=2an﹣2, Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

兩式相減可得，

an=2an﹣2an﹣1，an=2an﹣1，

∴{an}為首項為2，公比為2的等比數列，

∴an=2n

bn=（2n﹣1）2n．

（2）因為Tn=121+322+523+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n；①

所以2Tn=122+323+…+（2n﹣5）2n﹣1+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1；②

由①﹣②得﹣Tn=2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）2n+1，

化簡得Tn=（2n﹣3）2n+1+6．

（3）=4n﹣6+，

當，即n=3時，最小值為16．