Question

（2008•湖北模擬）已知函數f（x）在（-1，1）上有意義，f（

1

2

）=-1，且對任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）若數列{xn}滿足x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)，求f(xn）．
（3）求證：

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+3

n+1

(n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0又令y=-x，x∈（-1，1），則f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數；
（2）1+x_n²≥2|x_n|得到：|

2xn

1+ x 2 n

|≤1又x1=

1

2

，即有|

2xn

1+ x 2 n

|＜1，進一步得出

f(xn+1)

f(xn)

=2，{f（x_n）}是以-1為首項，以2為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式
求得f（x_n）；
（3）用等比數列的求和公式可求

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

，由-2+

1

2n-1

是遞減數列，可得到證明．

解答：解：（1）令x=y=0，則2f（0）=f（0），即f（0）=0（1分）
又令y=-x，x∈（-1，1），則f（x）+f（-x）=f（0）=0（3分）
即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數．（4分）
（2）1+x_n²≥2|x_n|∴|

2xn

1+ x 2 n

|≤1又x1=

1

2

，∴|

2xn

1+ x 2 n

|＜1
f（x₁）=f（

1

2

）=-1
而f（x_n+1）=f（

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn+xn

1+xnxn

)=f(xn)+f(xn)=2f(xn）．（7分）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2（8分）
∴{f（x_n）}是以-1為首項，以2為公比的等比數列，
故f（x_n）=-2^n-1（9分）
（3）

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

（11分）
∵-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

＞-2 (n∈N*）
又-

2n+3

n+1

=-2-

1

n+1

＜-2 (n∈N*）
故

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+3

n+1

 (n∈N*）（14分）

點評：本題主要考查了抽象函數的關系求解數列的項及通項公式，解題的關鍵是要根據函數關系合理的賦值，還考查了等比數列的通項公式及求和公式及數列單調性求數列最值的應用，綜合的知識較多．