Question

【題目】設橢圓，過點的直線，分別交于不同的兩點、，直線恒過點

（1）證明：直線，的斜率之和為定值；

（2）直線，分別與軸相交于，兩點，在軸上是否存在定點，使得為定值?若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2) 軸上存在定點使為定值，該定值為1

【解析】

（1）設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立直線y＝k（x﹣4）和橢圓方程，運用韋達定理，直線PQ、AP、AQ的斜率分別為k，k1，k2，運用直線的斜率公式，化簡整理即可得證；

（2）設M（x3，0），N（x4，0），由y﹣1＝k1（x﹣2），令y＝0，求得M的坐標，同理可得N的坐標，再由兩點的距離公式，化簡整理可得所求乘積．

（1）設，直線的斜率分別為，由得

，可得：，

（2）由，令，得，即

同理，即，設軸上存在定點則

，要使為定值，即

故軸上存在定點使為定值，該定值為1