Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，均為等邊三角形，，.

（1）過作截面與線段交于點(diǎn)，使得平面，試確定點(diǎn)的位置，并予以證明；

（2）在（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）為的中點(diǎn)，證明見解析；（2）

【解析】

（1）連結(jié)AC交BD于M，連結(jié)MN，證明，根據(jù)線面平行判定定理即可得證；

（2）過F作平面ABCD，垂足為O，過O作x軸，作y軸于P，則P為BC的中點(diǎn)，以O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABF的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線BN與平面ABF所成角的正弦值即可.

（1）當(dāng)N為CF的中點(diǎn)時(shí)，平面，

證明：連結(jié)AC交BD于M，連結(jié)MN．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴M是AC的中點(diǎn)，

∵N是CF的中點(diǎn)，∴，

又平面BDN，平面BDN，

∴平面.

（2）過F作平面ABCD，垂足為O，過O作x軸，作y軸于P，則P為BC的中點(diǎn)，以O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，

∵，∴，∴，

∴，，，，．

∴，，，

設(shè)平面ABF的法向量為，

則，∴，

令，得，

∴，

∴直線BN與平面ABF所成角的正弦值為.