Question

【題目】已知函數，，函數的圖象在點處的切線平行于軸．

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）設，若的所有零點中，僅有兩個大于，設為，（）

（1）求證：，．

（2）過點，的直線的斜率為，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求得，根據題設條件，得到，即可求解；

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可得，求得，，利用零點存在性定理，即可得到結論；（2）由斜率公式，整理得到，設，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．

（Ⅰ）由題意，函數，可得，

又由函數的圖象在點處的切線平行于軸，

所以，解得．

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可得，

可得，，，

所以，，

由零點存在性定理，可得，．

（2）由斜率公式，可得，

因為，所以，所以，

所以，

設，則，

當時，，當時，當，

在上遞增，在上遞減，

又，所以，所以，

又由，解得．