Question

【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓上．直線過點，且與橢圓 交于，兩點，線段的中點為．

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點為坐標原點，延長線段與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時直線的方程，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（I）根據已知得到a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓的標準方程；（Ⅱ）先討論當直線與軸垂直時，直線的方程為 滿足題意.再討論直線與軸不垂直，設直線，先計算出，，再根據求出此時直線的方程.

解：（I）由題意得,解得.

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）四邊形能為平行四邊形．

（1）當直線與軸垂直時，直線的方程為 滿足題意

（2）當直線與軸不垂直時，設直線，顯然.

設，，．

將代入得，

故，

．于是直線的斜率，即．

由直線，過點，得，因此．

的方程為．設點的橫坐標為．

由得，即．

四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分，即．

于是．由，得滿足

所以直線的方程為時，四邊形為平行四邊形．

綜上所述：直線的方程為或 .