Question

已知拋物線C：y²＝2px(p>0)，M點的坐標為(12,8)，N點在拋物線C上，且滿足＝，O為坐標原點．

(1)求拋物線C的方程；
(2)以M點為起點的任意兩條射線l₁，l₂的斜率乘積為1，并且l₁與拋物線C交于A，B兩點，l₂與拋物線C交于D，E兩點，線段AB，DE的中點分別為G，H兩點．求證：直線GH過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）(10,0)

∵＝，點M的坐標為(12,8)，可得點N的坐標為(9,6)，∴6²＝18p，∴p＝2，所以拋物線C的方程為y²＝4x.
(2)證明:由條件可知，直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，設l₁：y＝k(x－12)＋8，則l₂的方程為y＝(x－12)＋8，由得ky²－4y＋32－48k＝0，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁＋y₂＝，又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂－24)＋16，∴x₁＋x₂＝－＋24，∴點G的坐標為，用代替k，得到點H坐標為(2k²－8k＋12,2k)，∴k_GH＝
∴l_GH：y－2k＝ [x－(2k²－8k＋12)]．
令y＝0，則x＝10，所以直線GH過定點(10,0)