Question

某中學開展“創建文明城市知識競賽”活動，競賽題由20道選擇題構成，每道選擇題有4個選項，其中有且只有1個選項是正確的，要求學生在規定時間內通過筆試完成，且每道題必須選出一個選項（不得多選和不選），每道題選擇正確得6分，選擇錯誤得0分．已知學生甲對任一道題選擇正確的概率是；學生乙由于未作準備，因此只能從每道題的4個選項中隨機地選擇1個．
（1）比較甲得66分的概率與乙得54分的概率的大小；
（2）就前兩道題而言，求甲、乙兩人得分之和不得低于18分的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，甲得66分，即在20道題中答對11道題，由n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率公式計算可得其概率，又由題意，易得乙答對每一道題的概率都是，則乙得54分，即在20道題中答對9道題，由n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率公式計算可得其概率，比較可得答案；
（2）依題意，前兩道題甲、乙得分之和不低于18分，即前兩道題中甲乙兩人一共最多錯l道，由互斥事件概率的公式計算可得答案．
解答：解：（1）依題意，甲對任一道題選擇正確的概率是，
甲得66分，即在20道題中答對11道題的概率為；
又由題意，乙從每道題的4個選項中隨機地選擇1個，則乙答對每一道題的概率都是，
則乙得54分，即在20道題中答對9道題的概率為
又由C₂₀¹¹=C₂₀⁹，則P₁=P₂，
故甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大．
（2）依題意，前兩道題甲、乙得分之和不低于18分，即前兩道題中甲乙兩人一共最多錯l道，
即有三種情況，甲錯1道，乙錯1道，甲乙全部答對三種情況，
所求概率為
點評：本題考查n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率計算，關鍵是審清題意，明確事件之間的關系，將其轉化為互斥事件或次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率計算問題．