Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax+ （a∈R）．
（1）當a=﹣ 時，求函數f（x）的單調區間和極值．
（2）若g（x）=f（x）+a（x﹣1）有兩個零點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證：x1+x2＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣ 時，f（x）=lnx+ x+ ，（x＞0），求導，f′（x）= + ﹣ = ，

令f′（x）=0，解得：x= 或x=﹣1（舍去），

當f′（x）＞0，解得：x＞ ，

當f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴函數的單調遞增區間為（ ，+∞），單調遞減區間為（0， ），

∴當x= 時，函數取極小值，極小值為2﹣ln3；

（2）證明：根據題意，g（x）=f（x）+a（x﹣1）=lnx+ ﹣a，（x＞0），

因為x1，x2是函數g（x）的兩個零點，

∴lnx1+ ﹣a=0，lnx2+ ﹣a=0，

兩式相減，可得ln = ﹣ ，

即ln = ，故x1x2= ．

那么x1= ，x2=

令t= ，其中0＜t＜1，

則x1+x2= + = ．

構造函數h（t）=t﹣ ﹣2lnt，（0＜t＜1），

則h′（t）= ，

∵0＜t＜1，h′（t）＞0恒成立，

故h（t）＜h（1），即t﹣ ﹣2lnt＜0，

則 ＞1，故x1+x2＞1．

【解析】（1）當a=﹣ 時，求導，令f′（x）＞0求得函數的單調遞增區間，f′（x）＜0即可求得函數的單調遞減區間，即當x= 時，f（x）取極值；（2）求出個零點x1，x2，得到x1+x2= + = ．構造函數h（t）=t﹣ ﹣2lnt，（0＜t＜1），根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．