Question

【題目】在數(shù)列中， ,且 (）．

（1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)； （2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用數(shù)列{an}前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n-1倍，推出關(guān)系式，通過n=2，3，4，5求出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）通過（1）歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．第一步驗(yàn)證n=1成立；第二步，假設(shè)n=k猜想成立，然后證明n=k+1時(shí)猜想也成立．

試題解析：

（1）由已知分別取，得， ，

， ，

所以數(shù)列的前5項(xiàng)是： ， ．

（2）由（1）中的分析可以猜想．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，公式顯然成立．

②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，那么由已知，

得，即，

所以， 即，

又由歸納假設(shè)，得，

所以，即當(dāng)時(shí)，公式也成立．

由①和②知，對(duì)一切，都有成立．