Question

【題目】函數（為常數）的圖象與x軸有唯一公共點M

（1）求函數的單調區間.

（2）若，存在不相等的實數，滿足，證明：.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)函數f（x）的定義域為R，結合函數的解析式可得，據此分類討論函數的單調性即可；

（2）時，，由結合函數的解析式和基本不等式證明題中的結論即可.

(1)函數f（x）的定義域為R，且f（0）=0，

由題意可知，曲線f（x）與x軸存在公共點M（0，0），

又，

若a≤0，f’（x）>0，f（x）單調遞增；

若a>0，由f’（x）=0得x=1+lna，

當時，f（x）<0，f（x）單調遞減；

當時，f'（x）>0，f（x）單調遞增.

①當1+lna=0，即時，f（x）的極小值為f（0）=0，

曲線f（x）與x軸只有一個公共點，符合題意；

②當1+lna>0，即時，由基本結論“x>0時，”，

知，

又f（1+lna）<f（0）=0.

由零點存在定理知，此時的函數f（x）在區間（1+lna，a+2）有一個零點，

則f（x）與x軸有兩個公共點，與條件不符，舍去；

③當1+lna<0，即時，設，

則，

即.

又f（1+lna）<f（0）=0.

由零點存在定理知，此時函數f（x）在區間有一個零點，

則f（x）與x軸有兩個公共點，與條件不符，舍去；

綜上所述，時，f（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

當a≤0時，f（x）單調遞增區間為，無單調遞減區間.

（2）時，，由得：

，

所以，

由基本不等式知即，

即，即，

而f（x）在單調遞增，故，所以.