Question

已知A（-5，0），B（5，0），動點P滿足|

PB

|，

1

2

|

PA

|，8成等差數列．
（1）求P點的軌跡方程；
（2）對于x軸上的點M，若滿足|

PA

|•|

PB

|=

PM

2，則稱點M為點P對應的“比例點”．問：對任意一個確定的點P，它總能對應幾個“比例點”？

Answer 1

分析：（1）由條件|

PB

|，

1

2

|

PA

|，8成等差數列．得到條件方程，進行化簡，然后根據圓錐曲線的定義進行求解．
（2）根據條件|

PA

|•|

PB

|=

PM

2，建立方程關系，利用一元二次方程根與系數之間的關系，利用判別式進行判斷．

解答：解：（1）∵動點P滿足|

PB

|，

1

2

|

PA

|，8成等差數列．
∴|

PA

|-|

PB

|=8＜|AB|，
∴P點的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支，
且a=4，b=3，c=5．
∴P的軌跡方程為

x2

16

-

y2

9

=1，(x≥4)．
（2）設P（x₀，y₀），（x₀≥4），M（m，0），
∵

x 2 0

16

-

y 2 0

9

=1，
∴

y

2 0

=9(

x 2 0

16

-1)，
又

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)，
則|

PA

|•|

PB

|=

(-5-x0)2+(-y0)2

?

(5-x0)2+(-y0)2

=

( 25 16 x 2 0 -16)2

=

25

16

x

2 0

-16，
又

PM

2=|

PM

|2=(x0-m)2+

y

2 0

=

25

16

x

2 0

-2mx0+m2-9．
由|

PA

|•|

PB

|=

PM

2，得m²-2mx₀+7=0．（*）
∵△=4

x

2 0

-28≥36＞0
∴方程(*)恒有兩個不等實根，
即對任意一個確定的點P，它總能對應2個“比例點”．

點評：本題主要考查圓錐曲線的定義和應用，以及一元二次方程的應用，綜合性較強，考查學生的運算能力．