Question

【題目】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.

（1）求點P的軌跡方程；

(2)設點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.

Answer 1

【答案】（1）點P的軌跡方程為x2＋y2＝2.（2）證明見解析。

【解析】

（1）設M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），設P（x，y），運用向量的坐標運算，結合M滿足橢圓方程，化簡整理可得P的軌跡方程；

（2）設Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），運用向量的數量積的坐標表示，可得m，即有Q的坐標，求得橢圓的左焦點坐標，求得OQ，PF的斜率，由兩直線垂直的條件：向量數量積為0，即可得證．

（1）設M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），

設P（x，y），由點P滿足=．

可得（x﹣x0，y）=（0，y0），

可得x﹣x0=0，y=y0，

即有x0=x，y0=，

代入橢圓方程+y2=1，可得+=1，

即有點P的軌跡方程為圓x2+y2=2；

（2）證明：設Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），

=1，可得（cosα，sinα）（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，

即為﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，

當α=0時，上式不成立，則0＜α＜2π，

解得m=，

即有Q（﹣3，），

橢圓+y2=1的左焦點F（﹣1，0），

由=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）（﹣3，）

=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．

可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．

另解：設Q（﹣3，t），P（m，n），由=1，

可得（m，n）（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，

又P在圓x2+y2=2上，可得m2+n2=2，

即有nt=3+3m，

又橢圓的左焦點F（﹣1，0），

=（﹣1﹣m，﹣n）（﹣3，t）=3+3m﹣nt

=3+3m﹣3﹣3m=0，

則⊥，

可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．