Question

已知圓O：x²+y²=1，直線l:y=(x+4).

（1）設(shè)圓O與x軸的兩交點(diǎn)是F₁,F₂，若從F₁發(fā)出的光線經(jīng)l上的點(diǎn)M反射后過(guò)點(diǎn)F₂，求以F₁,F₂為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的橢圓方程.

（2）點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，從點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)l反射后與圓O相切.若光線從射出經(jīng)反射到相切經(jīng)過(guò)的路程最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

解:(1)如圖，由光學(xué)幾何知識(shí)可知，點(diǎn)F₁關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)F₁′在過(guò)點(diǎn)A(-4,0)且傾斜角為60°的直線l′上.在△AF₂F₁′中，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=MF₁+MF₂=F₁′F₂=，

又橢圓的半焦距c=1，∴b²=a²-c²=.

∴所求橢圓的方程為=1.

(2)路程最短即為l′上的點(diǎn)P′到圓O的切線長(zhǎng)最短，由幾何知識(shí)可知，P′應(yīng)為過(guò)原點(diǎn)O且與l垂直的直線與l′的交點(diǎn)，這一點(diǎn)又與點(diǎn)P關(guān)于l對(duì)稱，∴AP=AP′=2.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0).