【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）求函數(shù)
在點(diǎn)
處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3） 求證：當(dāng)
時(shí)，
恒成立.
【答案】（1）
；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【解析】
（1）求出函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)，得到切線斜率，利用點(diǎn)斜式得到切線方程；
（2）解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）要證
恒成立，即證
恒成立.分別求左側(cè)函數(shù)與右側(cè)函數(shù)的最小值與最大值即可.
（1）解：∵
，
，
∴
.
∴
.又∵
，
∴
，即
.
∴函數(shù)在點(diǎn)
處的切線方程為.
（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
.
，
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
.
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
，單調(diào)遞減區(qū)間為
.
（3）證明：由，得，
∴要證恒成立，即證恒成立.
令
，
，.
∵
，
∴當(dāng)
時(shí)，
，
為增函數(shù)；
當(dāng)
時(shí)，
，為減函數(shù).
∴
.
又∵
，
∴當(dāng)
時(shí)，
，
為增函數(shù)；
當(dāng)
時(shí)，
，為減函數(shù).
∴
.
∴恒成立.
∴當(dāng)時(shí)，恒成立.
口算題天天練系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某地通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查得到西紅柿種植成本
（單位：元/千克）與上市時(shí)間
（單位：
天）的數(shù)據(jù)如下表：
時(shí)間 |
|
|
|
種植成本 |
|
|
|
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)能夠比較準(zhǔn)確描述與的變化關(guān)系，請(qǐng)求出函數(shù)的解析式；
（2）利用選取的函數(shù)，求西紅柿最低種植成本及此時(shí)的上市天數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在
中，三個(gè)內(nèi)角
所對(duì)的邊分別為
，滿足
.
（1） 求角
的大��；
（2） 若
，求
，
的值.（其中
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某校高二（20）班共50名學(xué)生，在期中考試中，每位同學(xué)的數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)都在區(qū)間
內(nèi)，將該班所有同學(xué)的考試分?jǐn)?shù)分為七個(gè)組：
，
，
，
，
，
，
，繪制出頻率分布直方圖如圖所示.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這次考試學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）已知成績(jī)?yōu)?04分或105分的同學(xué)共有3人，現(xiàn)從成績(jī)?cè)?/span>中的同學(xué)中任選2人，則至少有1人成績(jī)不低于106分的概率為多少？（每位同學(xué)的成績(jī)都為整數(shù)）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】函數(shù)
的定義域?yàn)?/span>
,且對(duì)任意
,有
,且當(dāng)
時(shí)
.
（1）證明:是奇函數(shù);
（2）證明:在上是減函數(shù);
（3）求在區(qū)間
上的最大值和最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)
．
（1）當(dāng)
時(shí)，解不等式
；
（2）若存在實(shí)數(shù)
，使得不等式
成立，求實(shí)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】橢圓
（
）的離心率是
，點(diǎn)
在短軸
上，且
。
（1）球橢圓
的方程；
（2）設(shè)
為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)
的動(dòng)直線與橢圓交于
兩點(diǎn)。是否存在常數(shù)
，使得
為定值？若存在，求
的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】對(duì)于函數(shù)
，若
，則稱
為的“不動(dòng)點(diǎn)”；若
，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為
和
，即
，
．
（
）設(shè)函數(shù)
，求集合和．
（
）求證：
．
（
）設(shè)函數(shù)
，且
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
為函數(shù)
的極值點(diǎn).
（1）證明：當(dāng)
時(shí)， 
；
（2）對(duì)于任意
，都存在
，使得
，求
的最小值.
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