Question

【題目】數列{an}首項a1＝1，前n項和Sn與an之間滿足an＝

（1）求證：數列{}是等差數列

（2）求數列{an}的通項公式

（3）設存在正數k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k對于一切n∈N*都成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).

【解析】

（1）利用與之間的關系，將an＝轉化為和之間的關系式，再整理即可求得；

（2）根據（1）中所證可得，根據與的聯系即可求得；

（3）構造數列，判斷其單調性，再求最小值即可求得參數的取值范圍.

（1）因為，故an＝即為

整理可得

故可得，

故數列{}是以首項為1公差為2的等差數列，即證.

（2）由（1）可知，故可得

代入an＝，即可得

又當時，不滿足上式，

故

（3）由（1）可知，設

故可得

故是單調遞增數列，則，

要滿足（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k對于一切n∈N*都成立

只需，即可得.

故的最大值為：.