Question

【題目】如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊所在的平面與底面垂直，且，設

（1）求證：且；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（1）

【解析】

（1）由平面∥平面，根據面面平行的性質定理，可得，，再由，得到.由平面平面，根據面面垂直的性質定理可得平面，從而有.

（2）過作于，根據題意有平面，過D作于H，連結AH，由三垂線定理知，所以是二面角的平面角.然后在在中，在中，利用三角形相似求得再在求解.

（1）證明：∵平面∥平面，

∴，，

∵，

，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面，

平面，

∴.

（2）過作于，

∵為正三角形，

∴D為中點，

∵平面

∴

又∵，

∴平面.

在等邊三角形中，，

過D作于H，連結AH，

由三垂線定理知，

∴是二面角的平面角.

在中，～，，

∴，，

∴.