Question

已知拋物線，點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn).
（1）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于，求直線的斜率；
（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn).

Answer 1

（1）;（2）

試題分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線外面，所以過M與拋物線相交的直線斜率存在，用點(diǎn)斜式假設(shè)直線方程并聯(lián)立拋物線方程，消去y，即可得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理及已知中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出斜率的值.
（2）由點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)滿足（1）式中的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的等式，再寫出直線的方程，利用點(diǎn)差法將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)帶入拋物線方程.即可求出直線過定點(diǎn)，要做點(diǎn)是否存在的判定.
試題解析：（1）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，
由   得
因?yàn)?，且，
所以，.
設(shè)，，則，.
因?yàn)榫�段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于，所以，
解得，符合題意.
（2）依題意，直線，
又 ，，
所以
因?yàn)?， 且同號(hào)，所以，
所以 ，
所以，直線恒過定點(diǎn).