Question

在直角坐標系xOy中，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C上的點(2，1)到兩焦點的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，其中點A在x軸下方，且＝3.求過O，A，B三點的圓的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）x²＋y²－x－y＝0.

(1)由題意，設橢圓C：＝1(a＞b＞0)，則2a＝4，a＝2.
因為點(2，1)在橢圓＝1上，所以＋＝1，解得b＝.
所以所求橢圓的方程為＝1.
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(y₁＜0，y₂＞0)．點F的坐標為F(3，0)．
則＝3.，得即①
又點A，B在橢圓C上，所以解得?
所以B，代入①，得點A的坐標為(2，－)．
因為·＝0，所以OA⊥AB.
所以過O，A，B三點的圓就是以OB為直徑的圓．
其方程為x²＋y²－x－y＝0.