Question

（2012•閘北區二模）如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲線C：y2=

1

2

x(y≥0)上的點，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x軸正半軸上的點，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A₀為坐標原點）．
（1）寫出a_n-1、a_n和x_n之間的等量關系，以及a_n-1、a_n和y_n之間的等量關系；
（2）求證：an=

n(n+1)

2

（n∈N^*）；
（3）設bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，對所有n∈N^*，b_n＜log₈t恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A₀為坐標原點），從而可得結論；
（2）利用數學歸納法證明，關鍵是第二步：當n=k+1時，由歸納假設及(ak-ak-1)2=ak-1+ak，得[ak+1-

k(k+1)

2

]2=

k(k+1)

2

+an+1，由此可證；
（3）利用裂項法求出b_n，確定b_n最大值，即可求b_n＜log₈t恒成立時實數t的取值范圍．

解答：（1）解：依題意，△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A₀為坐標原點），故有xn=

an-1+an

2

，yn=

an-an-1

2

，…（4分）
（2）證明：①當n=1時，可求得a1=2=

1×2

2

，命題成立； …（2分）
②假設當n=k時，命題成立，即有ak=

k(k+1)

2

，…（1分）
則當n=k+1時，由歸納假設及(ak-ak-1)2=ak-1+ak，得[ak+1-

k(k+1)

2

]2=

k(k+1)

2

+an+1．
即(ak+1)2-(k2+k+1)ak+1+[

k(k-1)

2

]•[

(k+1)(k+2)

2

]=0
解得ak+1=

(k+1)(k+2)

2

（ak+1=

k(k-1)

2

＜ak不合題意，舍去）
即當n=k+1時，命題成立．  …（4分）
綜上所述，對所有n∈N^*，an=

n(n+1)

2

．    …（1分）
（3）解：bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n(2n+1)

=

2

n+1

-

2

2n+1

=

2n

2n2+3n+1

=

2

(2n+ 1 n )+3

．…（2分）
因為函數f(x)=2x+

1

x

在區間[1，+∞）上單調遞增，所以當n=1時，b_n最大為

1

3

，即bn≤

1

3

．…（2分）
由題意，有

1

3

＜log8t，所以t＞2．
所以，t∈（2，+∞）． …（2分）

點評：本題考查數學歸納法，考查裂項法求數列的和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．