Question

已知動圓P過點(0，

1

4a

)(a＞0)且與直線y=-

1

4a

相切．
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）設直線y=x+2與軌跡E交于點A、B，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交軌跡E于N．
①證明：軌跡E點N處的切線l與AB平行；
②是否存在實數a，使

NA

•

NB

=0？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意E的軌跡是以為(0，

1

4a

)(a＞0)焦點，y=-

1

4a

為準線的拋物線方程，由此能求出E的軌跡方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y=x+1 y=ax2

得：ax²-x-2=0．△△=1+8a＞0⇒a＜-

1

8

．再由韋達定理結合題設條件能夠求出存在實數a=

7

8

，使得

NA

•

NB

=0．

解答：解：（1）∵動圓P過點(0，

1

4a

)(a＞0)且與直線y=-

1

4a

相切．
∴E的軌跡是以為(0，

1

4a

)(a＞0)焦點，
y=-

1

4a

為準線的拋物線方程
所以E的軌跡方程為：y=ax²（a＞0）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=x+1 y=ax2

，
得：ax²-x-2=0，△=1+8a＞0⇒a＜-

1

8

，
x1+x2=

1

a

，x1x2=-

2

a

∴xN=xM=

x1+x2

2

=

1

2a

，
∴yN=ax2=

1

4a

．
①由y′=（ax²）′=2ax，
得：kl=y′|x=xN=2a•

1

2a

=1，
∴l∥AB．
②假設存在實數a，使得

NA

•

NB

=0，
則

NA⊥NB MA=MB

⇒|MN|=

1

2

|AB|．
由MN⊥x軸知：|MN|=|

1

2a

+2-

1

4a

|=

1

4a

+2．
又|AB|=

2

|x1-x2|=

2

1 a2 + 8 a

∴(

1

4a

+2)2=

1

4

×2(

1

a2

+

8

a

)⇒a=

7

8

或a=-

1

8

（舍去）
故存在實數a=

7

8

，使得

NA

•

NB

=0．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．