Question

已知動圓P過點N（2，0）并且與圓M：（x+2）²+y²=4相外切，動圓圓心P的軌跡為W，過點N的直線l與軌跡W交于A、B兩點．
（1）求軌跡W的方程；
（2）若2

AN

=

NB

，求直線l的方程；
（3）對于l的任意一確定的位置，在直線x=

1

2

上是否存在一點Q，使得

QA

•

QB

=0，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意可推斷出|PM|-|PN|=2＜|MN|=4進而利用雙曲線的定義可知點P的軌跡W是以M、N為焦點的雙曲線的右支，設出其標準方程，依題意求得a和c，則b可求，進而求得雙曲線的方程．
（2）設出l的方程與雙曲線方程聯立，進而利用2

AN

=

NB

求得x₂和x₁的關系式，代入方程入①②求得k，則直線的方程可得．
（3）問題可轉化為判斷以AB為直徑的圓是否與直線x=

1

2

有公共點，先看直線l的斜率不存在，則以AB為直徑的圓為（x-2）²+y²=9，可知其與直線x=

1

2

相交；再看斜率存在時設出直線的方程，利用焦點坐標和離心率求得|AB|的表達式，設以AB為直徑的圓的圓心為S，點S到直徑x=

1

2

的距離為d，則d可求，d-

|AB|

2

判斷出結果小于0，推斷出d＜

|AB|

2

，進而可知直線x=

1

2

與圓S相交，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）依題意可知|PM|=|PN|+2∴|PM|-|PN|=2＜|MN|=4，
∴點P的軌跡W是以M、N為焦點的雙曲線的右支，設其方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）則a=1，c=2，
∴b²=c²-a²=3，∴軌跡W的方程為x2-

y2

3

=1，（x≥1）．
（2）當l的斜率不存在時，顯然不滿足2

AN

=

NB

，故l的斜率存在，設l的方程為y=k（x-2），
由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0① x1x2= 4k2+3 k2-3 ＞0② △=16k4+4(3-k2)(4k2+3)＞0③

由①②③解得k²＞3，∵2

AN

=

NB

∴2（2-x₁，-y₁）=（x₂-2，y₂）
∴x₂=6-2x₁代入①②得

4k2

k2-3

=6-x₁，

4k2+3

k2-3

=x₁（6-2x₁）
消去x₁得k²=35，即k=±

35

，故所求直線l的方程為：y=±

35

（x-2）；
（3）問題等價于判斷以AB為直徑的圓是否與直線x=

1

2

有公共點
若直線l的斜率不存在，則以AB為直徑的圓為（x-2）²+y²=9，可知其與直線x=

1

2

相交；若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（2）知k²＞3且x₁+x₂=

4k2

k2-3

，又N（2，0）為雙曲線的右焦點，雙曲線的離心率e=2，
則|AB|=e（x₁+x₂）-2a=2×

4k2

k2-3

-2=

6(k2+1)

k2-3

設以AB為直徑的圓的圓心為S，點S到直徑x=

1

2

的距離為d，則d=

x1+x2

2

-

1

2

=

2k2

k2-3

-

1

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

∴d-

|AB|

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

-

3(k2+1)

k2-3

=-

3(k2+1)

2(k2-3)

∵k²＞3∴d-

|AB|

2

＜0即d＜

|AB|

2

，即直線x=

1

2

與圓S相交．
綜上所述，以線段AB為直徑的圓與直線x=

1

2

相交；
故對于l的任意一確定的位置，與直線x=

1

2

上存在一點Q（實際上存在兩點）使得

QA

•

QB

=0

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．