Question

（08年寶雞市質(zhì)檢二理）  在直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)F(1,0)設(shè)平面上的動(dòng)點(diǎn)M在直線(xiàn)上的射影為N，且滿(mǎn)足.

    （1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

    （2）若直線(xiàn)l是上述軌跡C在點(diǎn)M（頂點(diǎn)除外）處的切線(xiàn)，證明直線(xiàn)MN與l的夾角等于直線(xiàn)ME與l的夾角;

    （3）設(shè)MF交軌跡C于點(diǎn)Q，直線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)P，求△MPQ面積的最小值.

 

Answer 1

解析：（1）由題意，易知?jiǎng)狱c(diǎn)在y軸上及右側(cè)（x≥0）.

    且記它在x = -1上的射影為N'，∵|MN| =|MF|+1，∴|MN'| = |MF|，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)x = -1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，.

（2），設(shè)l與MN夾角為，l與M夾角為由于拋物線(xiàn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè) 

（解法1）當(dāng)時(shí)，，從而∴直線(xiàn)l的斜率.   又直線(xiàn)MF的斜率，

   

（解法2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為

    將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程并整理得

   

    整理得

    又

   

    又由于直線(xiàn)的斜率

    . ∴l為∠FMN的平分線(xiàn).

（3）設(shè)則.

    直線(xiàn)l的方程為，令得P點(diǎn)坐標(biāo)

   

    ，

    令得時(shí)，