Question

直線x+y+

2

=0截圓x²+y²=4所得劣弧所對圓心角為

 

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，過O作OC垂直于弦AB，先利用點到直線的距離公式求出圓心O到已知直線的距離|OC|的長，在直角三角形OBC中，由直角邊|OC|的長等于斜邊|OB|的一半，得到線段OC所對的∠OBC為

π

6

，再根據等邊對等角得到三角形AOB的兩底角相等，根據三角形的內角和定理即可求出直線截圓所得劣弧所對圓心角∠AOB的度數．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示，
過O作OC⊥直線AB，則C為弦AB的中點，
∵圓心（0，0）到直線x+y+

2

=0的距離|OC|=

2

2

=1，
在Rt△OBC中，由半徑|OB|=2，|OC|=1，
得到|OC|=

1

2

|OB|，故∠OBC=

π

6

，
又|OA|=|OB|，∴∠OAC=∠OBC=

π

6

，
則直線截圓所得劣弧所對圓心角∠AOB=

2π

3

．
故答案為：

2π

3

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，考查了數形結合的思想，用到的知識有直角三角形的性質，等腰三角形的性質，以及點到直線的距離公式，當直線與圓相交時，常常做出弦心距，利用弦心距，弦的一半及圓的半徑構造直角三角形來解決問題．