Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標為(1，0)．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)設M、N是拋物線C的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點分別為點A、B，求證：動直線AB恒過一個定點．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）見解析

(1)設拋物線的標準方程為y²＝2px(p>0)，則＝1，p＝2，所以拋物線方程為y²＝4x.
(2)拋物線C的準線方程為x＝－1，設M(－1，y₁)，N(－1，y₂)，其中y₁y₂＝－4，直線MO的方程：y＝－y₁x，將y＝－y₁x與y²＝4x聯立解得A點坐標.同理可得B點坐標，則直線AB的方程為：，整理得(y₁＋y₂)y－4x＋4＝0，故直線AB恒過定點(1，0)．