Question

【題目】如果四面體的四條高交于一點，則該點稱為四面體的垂心，該四面體稱為垂心四面體.

（1）證明：如果四面體的對棱互相垂直，則該四面體是垂心四面體；反之亦然.

（2）給出下列四面體

①正三棱錐；

②三條側棱兩兩垂直；

③高在各面的射影過所在面的垂心；

④對棱的平方和相等.

其中是垂心四面體的序號為 .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①②③④

【解析】

（1）首先證明四面體的兩條高線交于一點，再證過另一頂點和這一點的直線為另一條高線，即可證明結論成立.（2）①②③可通過證明對棱垂直證明是垂心四面體，④假設四面體為垂心四面體，則可證明有對棱的平方和相等，逆推依然成立，所以④也成立.

（1）先證對棱互相垂直的四面體是垂心四面體.

作，則

，

此時兩條高線

連接，下證

.連接

綜上可知，四條高線交于點，故該四面體為垂心四面體；

反之，若該四面體為垂心四面體，即四條高線交于點.

,,，故,

同理可證

（2）①正三棱錐底面為正三角形，側面為全等的等腰三角形，可證明三組對棱兩兩垂直，所以①符合要求.②三條側棱兩兩垂直，任一條側棱垂直另外兩條側棱所在的平面，也可證明對棱垂直，所以②符合要求.③高垂直于底面棱，在側面的射影垂直于此面的底面棱，所以底面棱垂直于高和射影所在的平面，即垂直于對棱，所以③符合要求.④假設四面體為垂心四面體，設BF交CD于E，則AC2﹣AD2＝CF2﹣DF2＝CE2﹣DE2＝BC2﹣BD2，即AC2+BD2＝AD2+BC2，反之，若故AC2+BD2＝AD2+BC2，則有C2﹣AD2＝CF2﹣DF2＝CE2﹣DE2＝BC2﹣BD2成立，即同理可證其他，故④符合要求．

①②③④均符合要求.