Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F(-

2

，0)，離心率e=

2

2

，M，N是橢圓上的動點．
（Ⅰ）求橢圓標準方程；
（Ⅱ）設動點P滿足：

OP

=

OM

+2

ON

，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，問：是否存在定點F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？，若存在，求出F₁，F₂的坐標，若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且點M，N關于原點對稱，點M在x軸上的射影為A，連接NA并延長交橢圓于點B，設直線MN、MB的斜率分別為k_MN、k_MB，求k_MN•k_MB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F(-

2

，0)，離心率e=

2

2

，可得c=

2

，a=2，利用b=

a2-c2

=

2

，可求得橢圓標準方程；
（Ⅱ）將

OP

=

OM

+2

ON

坐標化，利用直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，可計算x²+2y²=20，從而可知存在定點F₁(-

10

，0)，F₂(

10

，0)，使得|PF₁|+|PF₂|為定值．
（Ⅲ）設M點坐標為（x₀，y₀），則N點坐標為（-x₀，-y₀），A坐標為（x₀，0），，寫出直線NA方程為和橢圓聯立，可求得B的坐標（x，y），進而可計算k_MB，k_MN，即可求得k_MN•k_MB的值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F(-

2

，0)，離心率e=

2

2

，
∴c=

2

，a=2
∴b=

a2-c2

=

2

∴橢圓標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）．
∵

OP

=

OM

+2

ON

，
∴（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M、N是橢圓上的點，∴

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）．
∵直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，
∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=20，即

x2

20

+

y2

10

=1
∴存在定點F₁(-

10

，0)，F₂(

10

，0)，使得|PF₁|+|PF₂|為定值．
（Ⅲ）設M點坐標為（x₀，y₀），則N點坐標為（-x₀，-y₀），A坐標為（x₀，0），
直線NA方程為y=

y0

2x0

(x-x0)和橢圓聯立

y= y0 2x0 (x-x0) x2 4 + y2 2 =1

，消去y整理得
(1+

y02

2x02

)x2-

y02

x0

x-4+

y02

2

=0
設B（x，y），則-x₀+x=

2x0y02

2x02+ y02

，∴y-y₀=

-2y0x02

2x02+y02

∴

y-y0

x-x0

=-

x0

y0

，∴k_MB=-

x0

y0

∵k_MN=

y0

x0

，
∴k_MN•k_MB=-1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查存在性問題的探求，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生運算、分析解決問題的能力，綜合性強．