Question

（本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC．

(1) 求證：平面AB₁C₁⊥平面AC₁；

(2) 若AB₁⊥A₁C，求線段AC與AA₁長度之比；

(3) 若D是棱CC₁的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，試確定點E的位置；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需證B₁C₁⊥平面AC₁ ．（2）1：1．（3）點E位于AB的中點時。

【解析】

試題分析：（1）由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以B₁C₁⊥CC₁;

又因為AC⊥BC ，所以B₁C₁⊥A₁C₁，所以B₁C₁⊥平面AC₁ ．

由于B₁C₁平面AB₁C₁，從而平面AB₁C₁⊥平面AC₁ ．

（2）由（1）知，B₁C₁⊥A₁C ．所以，若AB₁⊥A₁C，則可

得：A₁C⊥平面AB₁C₁，從而A₁C⊥  AC₁ ．

由于ACC₁A₁是矩形，故AC與AA₁長度之比為1：1．

（3）點E位于AB的中點時，能使DE∥平面AB₁C₁．

證法一：設F是BB₁的中點，連結DF、EF、DE．則易證：平面DEF//平面AB₁C₁，從而

DE∥平面AB₁C₁．

證法二：設G是AB₁的中點，連結EG，則易證EGDC₁. 所以DE// C₁G，DE∥平面AB₁C₁．

考點：面面垂直的判定定理；線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理。

點評：證明線面平行的常用方法：

①定義：若一條直線和一個平面沒有公共點，則它們平行；

②線線平行Þ線面平行

若平面外的一條直線平行于平面內的一條直線，則它與這個平面平行。

即     

③面面平行Þ線面平行

若兩平面平行，則其中一個平面內的任一條直線平行于另一個平面。

即