Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右準線l的方程為x＝，短軸長為2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過定點B（1，0）作直線l與橢圓C相交于P，Q（異于A₁，A₂）兩點，設直線PA₁與直線QA₂相交于點M（2x₀，y₀）．

①試用x₀，y₀表示點P，Q的坐標；

②求證：點M始終在一條定直線上．

Answer 1

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右準線l的方程為x＝，短軸長為2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過定點B（1，0）作直線l與橢圓C相交于P，Q（異于A₁，A₂）兩點，設直線PA₁與直線QA₂相交于點M（2x₀，y₀）．

①試用x₀，y₀表示點P，Q的坐標；

②求證：點M始終在一條定直線上．

解（1）由         ……（2分）

得                  …………（4分）

∴橢圓C的方程為                    ……………………（6分）

（2）①A₁（－2，0），A₂（2，0），

方程為MA₁的方程為：，      ……………………（7分）

即．代入，

得，即．

∴=，      

則=．

即P（，）．            ……………………（10分）

同理MA₂的方程為，即．代入，

得，即．

∴=．

則=．

即Q（，）．         ……………………（12分）

②∵P，Q，B三點共線，∴，即．……………………（13分）

∴．

即．

由題意，，∴．

．

∴．則或．……………………（14分）

若，即，則P，Q，M為同一點，不合題意…………（15分）

∴，點M始終在定直線上．                  ……………………（16分）