Question

已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2^x－2.若同時滿足條件：

①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；

②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，

則m的取值范圍是________．

Answer 1

解析　當x<1時，g(x)<0，當x>1時，g(x)>0，當x＝1時，g(x)＝0，m＝0不符合要求；當m>0時，根據函數f(x)和函數g(x)的單調性，一定存在區間[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0時不符合第①條的要求；當m<0時，如圖所示，如果符合①的要求，則函數f(x)的兩個零點都得小于1，如果符合第②條要求，則函數f(x)至少有一個零點小于－4，問題等價于函數f(x)有兩個不相等的零點，其中較大的零點小于1，較小的零點小于－4，函數f(x)的兩個零點是2m，－(m＋3)，故m滿足或解第一個不等式組得－4<m<－2，第二個不等式組無解，故所求m的取值范圍是(－4，－2)．

答案　(－4，－2)