Question

【題目】已知二次函數的圖象過點，且不等式的解集為.

（1）求的解析式；

（2）若在區間上有最小值，求實數的值；

（3）設，若當時，函數的圖象恒在圖象的上方，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或；(3) .

【解析】

（1）通過，求出，利用1和3是方程的兩根，結合韋達定理，求解函數的解析式．（2），，．對稱軸為，分當時、當時、當時情況討論函數的單調性求解函數的最值即可．

（3）當，時，恒成立．推出，，．構造函數通過換元法以及函數的單調性求解函數的最值，轉化求解實數的取值范圍．

（1）由，得，

又1和3是方程的兩根，

所以，．

解得，，

因此．

（2），，．

對稱軸為，分情況討論：

當時，在，上為增函數，，

解得，符合題意；

當時，在，上為減函數，在，上為增函數，，

解得，其中舍去；

當時，在，上為減函數，（2），

解得，不符合題意．

綜上可得，或．

（3）由題意，當，時，恒成立．

即，，．

設，，，則．

令，于是上述函數轉化為，

因為，，所以，，

又在，上單調遞減，所以當時，，

于是實數的取值范圍是．