Question

【題目】設為正項數列的前項和，滿足.

（1）求的通項公式；

（2）若不等式對任意正整數都成立，求實數的取值范圍；

（3）設（其中是自然對數的底數），求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析；

【解析】

（1）根據題中的關系式，利用得出數列是等差數列，可得通項公式；

（2）時，求出的范圍，接著證明的此范圍對的正整數都成立，首先由，放縮，然后結合二項式定理證明結論；

（3）根據（1）中的結論得到數列的通項公式，求出變形并放縮

，再由當時，放縮裂項相消法求和證明結論.

（1）∵，

∴，

兩式相減，得，

即，

∴，

∵為正項數列，∴，

又由，解得或（舍去），

∴.

（2），即，

當時，，

解得且，

下面證明當且時，對任意正整數都成立，

當時，，

∴，

又當時，上式顯然成立，

故只要證明對任意正整數都成立即可，

又，

∴實數的取值范圍為.

（3）證明：由題得，

∵，

∴.

當時，

，

∴.