Question

設函數f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若當x∈[

1

e

-1，e-1]時，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，
求實數m的取值范圍；
（3）試討論關于x的方程：f（x）=x²+x+a在區間[0，2]上的根的個數．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數的導函數，利用導函數的正負確定出函數的單調區間，注意復合函數的求導法則；
（2）將恒成立問題轉化為函數的最值問題，關鍵要確定出函數在給定區間上的最值；
（3）利用方程與函數的思想，將方程根的個數問題轉化為研究函數性質的問題，從而確定出方程在給定區間上的根的個數問題．

解答：解：（1）函數的定義域為（-1，+∞），f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

．
由f'（x）＞0得x＞0；
由f'（x）＜0得-1＜x＜0，
增區間為（0，+∞），減區間為（-1，0）．

（2）令f′(x)=

2x(x+2)

x+1

=0，得x=0，
由（1）知f（x）在[

1

e

-1，0]上遞減，在[0，e-1]上遞增，
由f(

1

e

-1)=

1

e2

+2，f（e-1）=e²-2，且e2-2＞

1

e2

+2，
∴x∈[

1

e

-1，e-1]時，f（x）的最大值為e²-2，m＞e²-2時，不等式f（x）＜m恒成立．

（3）方程f（x）=x²+x+a，即x+1-2ln（1+x）=a．記g（x）=x+1-2ln（1+x），
則g′(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

．
由g'（x）＞0得x＞1；由g'（x）＜0得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上遞減；在[1，2]上遞增．
g（x）_min=g（1）=2-2ln2，又，g（0）=1，g（2）=3-2ln3，
由于2-2ln2＜3-2ln3＜1，
因此，當2-2ln2＜a≤3-2ln3時，f（x）=x²+x+a在區間[0，2]上有兩個根，
當a=2-2ln2或3-2ln3＜a≤1時，f（x）=x²+x+a在區間[0，2]上有1個根，
當a＜2-2ln2或a＞1時，f（x）=x²+x+a在區間[0，2]上沒有根．

點評：本題考查函數與導數的綜合問題，考查導數解決函數問題的工具作用，關鍵要用好導數在解決該題中的輔助作用，考查學生的轉化與化歸能力．