Question

已知f(x)=,n∈N^*,試比較f()與的大小,并且說明理由.

Answer 1

見解析

f()==
=1-,
而=1-,
∴f()與的大小等價于2ⁿ與n²的大小.
當n=1時,2¹>1²;當n=2時,2²=2²;
當n=3時,2³<3²;當n=4時,2⁴=4²;
當n=5時,2⁵>5².猜想當n≥5時,2ⁿ>n².
以下用數學歸納法證明:
①當n=5時,由上可知不等式成立;
②假設n=k(k≥5,k∈N^*)時,
不等式成立,即2^k>k²,
則當n=k+1時,2^k+1=2·2^k>2k²,
又∵2k²-(k+1)²=(k-1)²-2>0(∵k≥5),即2^k+1>(k+1)²,
∴n=k+1時,不等式成立.
綜合①②對n≥5,n∈N^*不等式2ⁿ>n²成立.
∴當n=1或n≥5時,f()>;
當n=3時,f()<;
當n=2或4時,f()=.