Question

（2012•淮北二模）設f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤f（

π

6

）|對一切x∈R恒成立，則
①f（

11π

12

）=0；
②|f（

7π

12

）|＜|f（

π

5

）|；
③f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
④f（x）的單調遞增區間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
⑤經過點（a，b）的所有直線均與函數f（x）的圖象相交．
以上結論正確的是

①③⑤

（寫出所有正確結論的編號）．

Answer 1

分析：化簡f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得f（

π

6

） 是三角函數的最大值，得到x=

π

6

是三角函數的對稱軸，將其代入整體角令整體角等于kπ+

1

2

π，求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數的性質．

解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=±

a2+b2

sin（2x+θ）
由f（x）≤f（

π

6

）可得f（

π

6

）為函數f（x）的最大值
∴2×

π

6

+θ=kπ+

1

2

π
∴θ=kπ+

1

6

π
∴f（x）=asin2x+bcos2x=±

a2+b2

sin（2x+

1

6

π）
對于①f（

11π

12

）=

a2+b2

sin（2×

11π

12

+

1

6

π）=0；故①對
對于②，|f（

7π

12

）|=

a2+b2

|sin（

7π

6

+

1

6

π）|=

3(a2+b2)

2

|f（

π

5

）|=

a2+b2

|sin（

2π

5

+

π

6

）|=

a2+b2

|sin

2π

3

|=

3(a2+b2)

2

∴|f（

7π

12

）|＞|f（

π

5

）|故②錯
對于③，f（x）不是奇函數也不是偶函數，故③正確
對于④，由于f（x）的解析式中有±，故單調性分情況討論，故④不對
對于⑤要使經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交，則此直線須與橫軸平行，且|b|＞

a2+b2

，b²＞a²+b²這不可能，矛盾，故不存在經過點（a，b）的直線于函數f（x）的圖象不相交故⑤正確
故答案為：①③⑤

點評：本題考查三角函數的對稱軸過三角函數的最值點、考查研究三角函數的性質常用整體處理的思想方法．