Question

已知函數f（x）=lnx（x＞0）．
（1）求過原點O且與函數f（x）=lnx圖象相切的切線l方程，并證明函數f（x）=lnx圖象不在直線l的上方；
（2）若在區間[1，2]內至少存在一個實數x，使得x⁴-ax³+10x＜e（x³-ax²+10）lnx成立，求實數a的取值范圍（e為自然對數的底）

Answer 1

分析：（1）設函數f（x）=lnx（x＞0）圖象上一點P（m，lnm），求出切線方程，代入原點，即可得到切線l方程；設g（x）=

1

e

x-lnx（x＞0），證明其單調性，可得g（x）在x=e處取到極小值，也是最小值0，從而

1

e

x≥lnx恒成立，即可得出結論；
（2）x⁴-ax³+10x＜e（x³-ax²+10）lnx，可化為（x³-ax²+10）（x-elnx）＜0，由（1）知，在區間[1，2]內，x-elnx＞0恒成立，問題等價于在區間[1，2]內至少存在一個實數x，使得x³-ax²+10＜0成立，分離參數可得a＞x+

10

x2

，求出右邊函數的最大值，即可得出結論．

解答：解：（1）設函數f（x）=lnx（x＞0）圖象上一點P（m，lnm），則
∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=

1

x

，
∴函數在P處的切線方程為y-lnm=

1

m

（x-m），
∵切線過原點，
∴0-lnm=

1

m

（0-m），
∴m=e，∴切線l方程為y=

1

e

x；
設g（x）=

1

e

x-lnx（x＞0），則g′（x）=

x-e

ex

＞0，可得x＞e，
∴g（x）在（0，e）上單調遞減，在（e，+∞）上單調遞增，
∴g（x）在x=e處取到極小值，也是最小值0，
∴

1

e

x≥lnx恒成立，
∴函數f（x）=lnx圖象不在直線l的上方；
（2）x⁴-ax³+10x＜e（x³-ax²+10）lnx，可化為（x³-ax²+10）（x-elnx）＜0，
由（1）知，在區間[1，2]內，x-elnx＞0恒成立，
∴問題等價于在區間[1，2]內至少存在一個實數x，使得x³-ax²+10＜0成立，
∴a＞x+

10

x2

，
設h（x）=x+

10

x2

，則h′（x）=1-

20

x2

∴1≤x≤2，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在區間[1，2]內是減函數，
∴h(x)max=h(2)=

9

2

，
∴a＞

9

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的極值，考查分離參數法的運用，正確求導是關鍵．