Question

已知命題：p：函數(shù)f(x)=(

1

2

)x-log

1

3

x在區(qū)間(0，

1

3

)內(nèi)存在零點，命題q：存在負數(shù)x使得(

1

2

)x＞(

1

3

)x，給出下列四個命題①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定，真命題的個數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：在區(qū)間(0，

1

3

)內(nèi)，(

1

2

)x＜(

1

2

)0=1；在區(qū)間(0，

1

3

)內(nèi)，log

1

3

x＞log

1

3

1

3

=1．所以在區(qū)間(0，

1

3

)內(nèi)，函數(shù)f(x)=(

1

2

)x-log

1

3

x＜0，即不存在零點，而由y=(

1

2

)x與y=(

1

3

)x的圖象可知，當x＜0時，總有(

1

2

)x＜(

1

3

)x．因此p、q均為假命題，最后根據(jù)復(fù)合命題的真假表即可作出判斷．

解答：解：因為函數(shù)y=(

1

2

)x在區(qū)間(0，

1

3

)上為減函數(shù)，所以(

1

2

)x＜1；
又因為函數(shù)y=log

1

3

x在區(qū)間(0，

1

3

)上也為減函數(shù)，所以log

1

3

x＞1．
因此函數(shù)f(x)=(

1

2

)x-log

1

3

x在區(qū)間(0，

1

3

)內(nèi)恒小于零，即不存在零點，所以命題p是假命題．
當x＜0時，總有(

1

2

)x＜(

1

3

)x，所以命題q是假命題．
由此可知①②是假命題，③④是真命題．
故選B．

點評：本題考查復(fù)合命題的真假情況，同時考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象、單調(diào)性、特殊點等．