Question

對于實數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且函數(shù)F（x）=f（x）-m（m∈R）恰有三個零點，x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的取值范圍是

(

5- 3

4

，1)

．

Answer 1

分析：由已知正確得出函數(shù)解析式畫出圖象并求出m的取值范圍，解出方程的三個零點，進而根據(jù)m的取值范圍求出即可．

解答：解：由f（x）=（2x-1）*（x-1）=

2(x- 1 4 )2- 1 8 ，當(dāng)x≤0時 -(x- 1 2 )2+ 1 4 ，當(dāng)x＞0時

，
畫出函數(shù)y=f（x）與y=m的圖象：
∵函數(shù)F（x）=f（x）-m（m∈R）恰有三個零點，
∴0＜m＜

1

4

．
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，
則x₁是方程2x²-x=m的小于0的實數(shù)根，
∴x1=

1- 1+8m

4

；
x₂，x₃是方程-x²+x=m的兩個實數(shù)根，
∴x₂+x₃=1．
∴x₁+x₂+x₃=

5- 1+8m

4

．
∵0＜m＜

1

4

，∴1＜

1+8m

＜

3

，
∴

5- 3

4

＜

5- 1+8m

4

＜1．
∴x₁+x₂+x₃的取值范圍是(

5- 3

4

，1)．
故答案為(

5- 3

4

，1)．

點評：熟練畫出函數(shù)的圖象和掌握函數(shù)零點的求法是解題的關(guān)鍵．