Question

如圖，矩形中，，．，分別在線段和上，∥，將矩形沿折起．記折起后的矩形為，且平面平面．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，求證：；

（Ⅲ）求四面體體積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：因為四邊形，都是矩形，

      所以 ∥∥，．

      所以 四邊形是平行四邊形，……………2分

      所以 ∥，             ………………3分

      因為 平面，

所以 ∥平面．        ………………4分

（Ⅱ）證明：連接，設．

因為平面平面，且，     

所以 平面，                  ……5分

所以 ．                            …………6分               

又 ， 所以四邊形為正方形，所以 ．   ………………7分                                       

所以 平面，                            ………………8分

所以 ．                          ………………9分

（Ⅲ）解：設，則，其中．

由（Ⅰ）得平面，

所以四面體的體積為．   ………11分

所以 ．                ……………13分

當且僅當，即時，四面體的體積最大．  ………………14分

【解析】略