Question

如圖，矩形中，，．，分別在線段和上，∥，將矩形沿折起．記折起后的矩形為，且平面平面．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，求證：；

（Ⅲ）求四面體體積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）見解析；（3）2.

【解析】（1）根據折前折后四邊形，都是矩形，證得四邊形是平行四邊形，所以∥，由線面平行的判定定理證得結論.（2）要證，須證

平面， 關鍵是證，，根據平面平面和易證；（3）由（1）可得平面，又設，則.易求出四面體的體積最大時，.

解：（Ⅰ）證明：因為四邊形，都是矩形，

      所以 ∥∥，．

      所以 四邊形是平行四邊形，……………2分

      所以 ∥，             ………………3分

      因為 平面，

所以 ∥平面．        ………………4分

（Ⅱ）證明：連接，設．

因為平面平面，且，    

所以 平面，                                      ………………5分

所以 ．                                             ………………6分               

又 ， 所以四邊形為正方形，所以 ．   ………………7分                                       

所以 平面，                                        ………………8分                            

所以 ．                                             ………………9分                                     

（Ⅲ）解：設，則，其中．

由（Ⅰ）得平面，

所以四面體的體積為．    ………………11分

所以 ．                             ………………13分

當且僅當，即時，四面體的體積最大，